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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
d) f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador sea distinto de cero, es decir, x≠0x \neq 0. 
Por lo tanto el dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} -\{0\}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R−{0}\mathbb{R} -\{0\}, entonces x=0x = 0 es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando xx tiende a 00 por derecha y por izquierda:

lim⁡x→0+x+4x=+∞ \lim_{x \to 0^+} x+\frac{4}{x} = +\infty
lim⁡x→0−x+4x=−∞ \lim_{x \to 0^-} x+\frac{4}{x} = -\infty

Por lo tanto, f(x)f(x) tiene una asíntota vertical en x=0x=0.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x+4x=+∞ \lim_{x \to +\infty} x+\frac{4}{x} = +\infty lim⁡x→−∞x+4x=−∞ \lim_{x \to -\infty} x+\frac{4}{x} = -\infty

Es decir, ff no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en +∞+\infty y en −∞-\infty nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
- Asíntotas oblicuas: Acordate que las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y=mx+by = mx + b

m=lim⁡x→±∞f(x)x=x+4xx=xx+4x2=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{x+\frac{4}{x}}{x} = \frac{x}{x} + \frac{4}{x^2} = 1
b=lim⁡x→±∞f(x)−mx=x+4x−x=4x=0b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = x+\frac{4}{x} - x = \frac{4}{x} = 0 Por lo tanto, ff tiene una asíntota oblicua tanto en +∞+\infty como en −∞-\infty en y=xy = x
3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=1−4x2 f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} 4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

1−4x2=0 1 - \frac{4}{x^2} = 0
1=4x2 1 = \frac{4}{x^2} 4=x2 4 = x^2
∣x∣=2|x| = 2
 
Por lo tanto, los puntos críticos son: x=−2 x = -2 y x=2 x = 2

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) x<−2 x < -2 b) −2<x<0 -2 < x < 0 c) 0<x<2 0 < x < 2 d) x>2 x > 2

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para x<−2 x < -2 , podemos elegir x=−3 x = -3 : f′(−3)>0 f'(-3) > 0 La función ff es creciente. b) Para −2<x<0 -2 < x < 0 , podemos elegir x=−1 x = -1 : f′(−1)<0 f'(-1) < 0 La función ff es decreciente. c) Para 0<x<2 0 < x < 2 , podemos elegir x=1 x = 1 : f′(1)<0 f'(1) < 0 La función ff es decreciente. d) Para x>2 x > 2 , podemos elegir x=3 x = 3 : f′(3)>0 f'(3) > 0 La función es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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Mamani
15 de abril 0:49
Hola, perdón la pregunta, pero no entendí muy bien la deriva de 4/X, que sería -4/X²
0 Responder
Flor
PROFE
15 de abril 8:56
@Mamani Hay al menos dos maneras de pensar cómo derivar 4x\frac{4}{x}. Una que resulta fácil es aplicar regla del cociente, fijate que si tomás al 44 como "el primero" y a xx como "el segundo", entonces te queda: 0⋅x−4x2=−4x2\frac{0 \cdot x - 4}{x^2} = -\frac{4}{x^2} y ahí quedó =)

La otra forma es reescribir 4x\frac{4}{x} como 4⋅x−14\cdot x^{-1} y ahí derivás x−1x^{-1} con las reglas para polinomios. Con esa opción también deberías llegar al mismo resultado (para mi hay menos chance de meter la pata usando la primera opción, pero depende de cada uno que le resulte más fácil)
0 Responder
Mamani
15 de abril 16:15
Ahh, claro, ahora entiendo, muchas gracias! (Pensaba que era algo muy complicado jajs)
0 Responder